CNRS : Mieux courir grâce aux mathématiques

[Gilles]

Optimization of running strategies based on anaerobic energy and variations of velocity
Amandine Aftalion et Frédéric Bonnans
Rapport de recherche Mai 2014

Abstract.

The aim of this work is to present a model relying on a system of ordinary differential equations describing the evolution of the anaerobic energy and the velocity of a runner. We perform numerical simulations and rigorous analysis to deduce an optimal running strategy. Our model relies on the fundamental principle of dynamics, energy conservation, a hydraulic analogy, and control conditions. We take into account the resistive force, the propulsive force and the variations in the volume of oxygen used per unit time. Our main result is to show that varying one's velocity rather than running at a constant velocity allows to run longer. Using optimal control theory, we present proofs on the structure of the optimal race and relate the problem to a relaxed formulation, where the propulsive force represents a probability distribution rather than a function of time. Our mathematical analysis leads us to introduce a bound on the variations of the propulsive force to obtain a more realistic model which displays oscillations of the velocity. We also present numerical simulations of our system which qualitatively reproduce quite well physiological measurements on real runners. We show how, by optimizing over a period, we recover the oscillations of speed.

Étude complète (PDF)

[Gilles]

Communiqué de presse du CNRS :

Paris, 13 mai 2014
Mieux courir grâce aux mathématiques

Comment courir pour améliorer sa performance, son poids et sa forme ? Amandine Aftalion du Laboratoire de mathématiques de Versailles (CNRS/Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines) et Frédéric Bonnans du Centre de mathématiques appliquées (CNRS/Inria/École polytechnique) ont créé un modèle mathématique d'optimisation de la course qui pourrait conduire à un programme d'entrainements personnalisés selon l'état physiologique de chacun. Il confirme en outre un fait bien connu des sportifs : varier sa vitesse permet de mieux dépenser son énergie et de courir plus longtemps. Les mathématiques offrent ainsi l'opportunité aux coureurs de passer de simples outils de mesures statistiques au conseil sportif personnalisé. Ces travaux, disponibles sur l'archive ouverte HAL, seront présentés le 16 mai 2014 lors du forum Futurapolis à Toulouse, dont le CNRS est partenaire, puis publiés dans la revue SIAM J.Applied Mathematics.

Ce modèle mathématique prend tout d'abord en compte l'énergie du coureur, notamment sa consommation maximale d'oxygène (VO2max) et son stock d'énergie anaérobie, en les faisant intervenir dans un système d'équations différentielles reliant la vitesse, l'accélération, la force de propulsion et les forces de frottement. Ce système est couplé à des conditions initiales de départ de la course, vitesse nulle et quantité d'énergie donnée, et des contraintes : l'énergie et la force de propulsion doivent être positives (le coureur ne peut pas reculer). Les chercheurs sont capables avec ce modèle de prédire le comportement que doit avoir le sportif tout au long de sa course au moyen d'un bilan instantané déterminant à la seconde près la vitesse optimale du coureur et l'énergie dépensée depuis le départ. Leur résultat principal montre ainsi que varier sa vitesse permet de dépenser moins d'énergie et de courir plus longtemps. De plus, en comparant ces résultats avec ceux d'athlètes professionnels, les auteurs peuvent également préciser quels paramètres physiologiques les coureurs doivent développer pour s'améliorer en répondant par exemple aux questions suivantes : quels seront les résultats d'un champion s'il avait le poids et la consommation maximale d'oxygène d'un coureur amateur ? Quels sont alors les paramètres que le sportif amateur peut améliorer pour s'approcher des résultats habituels du champion ? Doit-il améliorer sa capacité respiratoire ou son énergie anaérobie ?

Les applications de ce modèle concernent deux types de publics. Dans le cas des coureurs « semi-professionnels » qui n'ont pas l'opportunité de travailler avec un entraîneur ou dans le cadre de cours d'éducation physique et sportive à l'école, les chercheurs souhaiteraient développer un logiciel capable de créer des programmes d'entrainements personnalisés qui indiqueraient les paramètres physiologiques à développer en priorité et de réaliser des stratégies précisant les vitesses optimales à atteindre à chaque moment de la course. Pour les « coureurs du dimanche », le système d'équations étant adaptable à toutes les variables intéressantes pour le sportif (et pas seulement la vitesse), ces derniers pourraient, par exemple, connaître instantanément le nombre exact (et non pas une simple moyenne comme pour les outils existant actuellement) de calories perdues lors de la course afin d'améliorer leur perte de poids.

Les chercheurs souhaitent désormais améliorer leur modèle mathématique en intégrant au système d'équations de nouveaux paramètres comme l'altitude ou l'effet du vent et l'appliquer à d'autres sports d'endurance comme le cyclisme, la natation ou le canoé kayak.

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